研究

148,933 個質數上的七種聚合。

本頁所有內容都是在頁尾標明的環境下、由一支印出雜湊的腳本、從發行包的分片算出來的。沒有一個數字是從論文引來的。

資料集a5caea22a57efaac915c…

工作流36f765220749b287cde6…

輸出5b93e5f26256e16f6290…

環境Python 3.14.5 · NumPy 2.5.1

密度

2,000,000 以下有 148,933 個質數，密度為 0.074467。密度隨區間擴大而下降，正是質數定理預測的形狀；下面的數量級分段直接顯示這個下降。

區間	質數	密度
0–10	4	0.40000
10–100	21	0.23333
100–1,000	143	0.15889
1,000–10,000	1,061	0.11789
10,000–100,000	8,363	0.09292
100,000–1,000,000	68,906	0.07656
1,000,000–2,000,000	70,435	0.07043

表中計數加總正好是資料集總數，而每一列都是兩個相鄰 π(10ᵏ) 的差。它們是存下來的、不是重新推導的：分段邊界來自分片內隨附的 decimal_digits 欄。

間隔

在 148,932 個相鄰質數間隔中，平均為 13.429，最大為 132。這個最大值正是兩百萬以下已知的最大間隔，是拿這個資料集對照文獻最省事的檢查之一。

間隔中位數: 10
90 百分位: 28
99 百分位: 52
最大值: 132
相異間隔值: 61

最常見的間隔

gap 214,871

gap 414,741

gap 624,531

gap 810,280

gap 1012,967

gap 1215,141

gap 147,941

gap 189,559

間隔 6 以明顯差距居冠——這個區間的 jumping champion。間隔 2 的出現次數與孪生質數對數完全相同，這是兩個獨立欄位必須通過的一致性檢查。

剩餘

大於 5 的質數都與 30 互質，因此必然落在八個剩餘類之一。而它們落得幾乎一樣平均：

各剩餘類（模 30）的質數數量

n ≡ 118,540

n ≡ 718,625

n ≡ 1118,648

n ≡ 1318,654

n ≡ 1718,642

n ≡ 1918,593

n ≡ 2318,601

n ≡ 2918,627

八個計數的極差只有 114。資料集另存有模 6 與模 210 的剩餘，以及一個衍生的 wheel30 類——第二世代正是為了加入這一欄而被提案並審查的。

質數族

四個配對族以位元旗標編碼，每一個都設在配對中較大的那一個成員上，所以新增後續區間永遠不會重寫先前的分片。

質數族計數

twin prime14,871

cousin prime14,742

sexy prime29,419

safe prime7,746

表兄弟對比間隔 4 的出現次數正好多一。多出來的那一對是 (3, 7)：7 − 4 = 3 是質數，但 5 夾在中間，所以它是表兄弟對卻不是間隔 4。這是區間內唯一的例外。

重播

一行指令，不需網路，不需索引：

shell

python workflows/stable_baseline.py --project-root . \
    --output results_v10/stable_baseline_output.json

腳本在讀取任何東西之前，會先用清單自己的雜湊驗證它；若分片數或質數數與清單不符則拒絕執行；若旗標欄帶有它無法命名的位元則大聲失敗。輸出以與清單相同的方式正規化並自我雜湊，所以下面這個值可以逐位元重現。

工作流: stable_baseline.py
工作流 sha256: 36f765220749b287cde604bbff48b2c1b31e1c212855afeac3c10498bfd22569
資料集清單: a5caea22a57efaac915c00dd92c655b1126e0b6d9b2b93790e48bc167733e0d1
輸出 sha256: 5b93e5f26256e16f6290cea957df45aaf78de672ca0e80bf17ef2419b4d50ac3
執行環境: Python 3.14.5、NumPy 2.5.1、Windows

已知限制

區間固定為兩百萬。本頁每一個數字都只是關於這個區間的陳述，不涉及其外。
配對族記在較大的成員上，所以跨越上界的配對不被計入。
隨附的 prime-distribution-baseline 工作流走資料湖查詢層，無法從發行包重播，因為湖索引不在包裡。這個缺口記錄在工作流頁；本研究的存在就是為了補上它。
本頁沒有任何結果以外部提供的整數為條件，它們的任何組合也不會縮小因數搜尋範圍。